Structura fractală a oscilatoarelor armonice în muzică: Concert de Revelion: JS.Bach. Concerte din Brandenburg.

Analiza structurii diferitelor lucrări muzicale a arătat că selecția notelor realizate de diferiți compozitori, în momente diferite, are câteva elemente comune. Acesta este unul dintre Concertele de Brandenburg din Bach, ale cvartetului de coarde nr. 3 din Babbit, al lucrărilor de pian de Scott Joplin, toate aceste lucrări au aceeași formă dacă structura este luată în considerare în funcție de frecvențe. Vom explica acest lucru mai jos.

În analiza auditivă a diferitelor lucrări muzicale, o cantitate care a fost studiată este puterea audio a muzicii. Această cantitate este, în esență, energia care este emisă sub formă de unde sonore în fiecare secundă, atunci când este executată opera muzicală. Analizând modul în care această cantitate este structurată, din punct de vedere al frecvenței, se obține ceea ce se numește spectrul său.

Cum depind spectrele diferitelor opere muzicale de frecvență?

Analizele realizate din diferite lucrări muzicale au arătat că spectrele lor depind de frecvența, pe care o vom numi cu litera f, cum ar fi (1 / f). Dacă ne amintim ce a fost analizat în capitolul precedent, vedem că acest spectru este o lege a puterii care, în limbajul matematic, depinde de frecvența inversă primei puteri de f (deoarece exponentul lui f în (1) / f) este 1). Prin urmare, așa cum s-a descris deja, acest spectru este similar cu sine și, în consecință, conține o structură fractală.

Un spectru de tipul menționat în paragraful precedent se numește spectru roz.

De ce Bach și mulți alți compozitori au ales spectrul roz? Realitatea este că niciun muzician nu a auzit vreodată de aceste idei, cu atât mai puțin le-a ales în mod deliberat. Pentru a înțelege ce se întâmplă, vom explica cum s-ar face muzica cu un alt tip de spectru.

O modalitate ar fi următoarea: fiecare notă scrisă este astfel încât poziția și durata sa nu depind deloc de notele anterioare sau de durata lor. În acest caz, se spune că compoziția este complet aleatoare sau stocastică. Un exemplu de acest tip de muzică este prezentat în Figura 33 (a). Spectrul puterii audio a acestui tip de muzică este același pentru orice valoare de frecvență, ceea ce înseamnă că valoarea puterii este aceeași pentru orice valori de frecvență, adică este o cantitate constantă. Matematic, spectrul depinde de frecvența (1 / f0), deoarece f0 = 1. Un spectru de acest tip se numește alb. Dacă acest tip de muzică ar fi cântat pe un instrument, l-am auzi fără structură; De asemenea, ar da impresia că de la o notă la alta, întotdeauna va exista o surpriză.

Un alt tip de spectru, care merge spre celălalt capăt, este cel care depinde de frecvență (1 / f²), numit maro sau maro, nume care a fost dat deoarece este asociat cu mișcarea browniană discutată în capitolul IV. Figura 33 (b) arată muzica care are spectrul maro. În muzică, fiecare notă și durata ei depind într-un grad considerabil de notele anterioare. Prin urmare, sentimentul pe care îl ai când îl asculti este că, după ce ai cântat câteva note, următoarele sunt previzibile.

În figura: (a) Exemplu de muzică albă. (b) Exemplu de muzică maro. (c) Exemplu de muzică roz.

Muzica care are un spectru roz, adică (1 / f), este, ca să spunem așa, printre cazurile de muzică aleatoare (spectru alb) și muzică deterministă (spectru maro). În acest caz, notele și durata lor nu sunt nici foarte previzibile, nici foarte surprinzătoare. Un exemplu de acest tip de muzică este prezentat în Figura 33 (c).

Revenind la întrebarea de mai sus: de ce compozitorii au folosit în mod eficient spectre roz, adică o lege a puterilor (1 / f) pentru a-și compune muzica ?, se poate spune că compozitorii au încercat și, cu siguranță, mulți dintre Au reușit să compună muzică interesantă. Întrebarea trebuie ridicată după cum urmează: de ce muzica interesantă are un spectru roz? Răspunsul ar putea fi că muzica cu acest tip de spectru nu se dovedește nici foarte previzibilă (spectru maro), nici foarte surprinzătoare (spectru alb). Omul de știință olandez Balthazaar van de Pol a spus cândva că muzica lui Bach este excelentă, deoarece este inevitabilă și, în același timp, surprinzătoare, ceea ce înseamnă că spectrul său este roz.

Deoarece muzica care are un spectru roz este similară cu sine, are o structură similară la diferite scări de frecvență. Ceea ce se întâmplă pe o scară de frecvență trebuie să apară pe orice altă scară de frecvență. Dacă o astfel de compoziție ar fi înregistrată pe bandă magnetică la o anumită viteză și jucată la viteze diferite, ceea ce s-ar auzi ar fi similar cu ceea ce s-a înregistrat. Acest lucru contrastează cu ceea ce se întâmplă cu vocea umană, pentru că atunci când o înregistrare este redată cu viteză, de exemplu de două ori ceea ce ar trebui făcut, sună foarte tare. O modalitate de a manifesta similitudine este cu ajutorul unui dispozitiv electronic care generează sunete ale frecvențelor dorite. Dacă se produce un sunet care este superpoziția a 2 note, fiecare notă este o octavă (dublă frecvență) a celei anterioare și începe cu o notă de 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1 / sec), Următoarele 11 note vor fi cu frecvențe:

20 = 2 x 10, 40 = 4 x10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 5l2 x l0, 10 240 = 1024 x 10 și

20 480 = 2 048 x 10, toate în unități Hz.

Acum să schimbăm fiecare din aceste note pentru alte frecvențe mai mari cu un semiton (corespunzând diferenței dintre două note succesive ale unui pian); frecvența semitonului este obținută din nota anterioară înmulțindu-se cu 1.05946. Acum va fi redat sunetul care este superpoziția următoarelor frecvențe:

10 x 1.0594 = 10.6, 20 x 1.05946 = 21.2,

40 x 1.05946 = 42.38, 80 x 1.05946 = 84.76,

160 x 1.05946 = 169.51, 320 x 1.05946 = 339.03,

640 x 1.05946 = 678.06, 1 280 x 1.05946 = 1356.11,

2560x 1.05946 = 2712.22, 5120 x 1.05946 = 5424.44,

10240 x 1.05946 = 10848.88 și 20480 x 1.05946 = 21697.74 Hz

Acest sunet va fi auzit cu un ton mai puternic decât precedentul.

Dacă frecvența fiecăreia dintre note este crescută din nou cu un semiton, suprapunerea noilor sunete va produce un sunet de ton superior. Dacă procesul de creștere a fiecăruia dintre componentele sunetului cu un semiton se repetă de 12 ori, se dovedește că sunetul produs este nedistinguibil față de original! Aceasta este o demonstrație muzicală de asemănare cu sine.

În plus, dacă luăm ca referință diagramele de timp / spectru care nu sunt audibile, vom avea că în nuanțe> 20 Hz și mai mari de 28.000 Hz, vom obține un logaritm armonic care este exprimat ca o succesiune de evenimente unice și duble in tacere:

Cheia oscilatoarelor armonice se află în succesiunea liniilor sau a lanțurilor de frecvență ale spectrului care nu este audibil.

Combinarea conceptelor de mai sus, rezultă în această minune pe care ne-o oferim pentru a primi noul an 2011: